Guia turístico inspirado na Matemática

Conheça a fórmula matemática que vai ajudar no planejamento da próxima viagem de férias.

A maioria das pessoas pensa em cidades como Paris, Tóquio ou Dubai como entidades únicas, isto é, como cidades que são diferentes de todas as outras metrópoles. Entretanto, cidades grandes e pequenas compartilham um propósito: ambas buscam proporcionar um lugar bom para se viver. Por conta dessa questão em comum, cientistas e planejadores urbanos estão tentando encontrar uma forma de trazer rigor matemático ao analisar se uma cidade está cumprindo esse objetivo.

O físico teórico Luis Bettencourt e seus colegas do Instituto Santa Fe publicaram na edição de junho da revista Science uma teoria que sugere que cidades grandes e pequenas são mais similares entre si do que diferentes. Ele observou algumas características estatísticas ao redor do mundo: tamanho, localização geográfica, clima etc. e, neste trabalho, foi capaz de identificar componentes universais que são essenciais para o sucesso de uma cidade. Bettencourt tentou sintetizar esses componentes em uma fórmula matemática que permitisse quantificar quão bem-sucedida uma cidade era.

Para obter seus resultados, o time de cientistas trabalhou por bastante tempo. Eles coletaram todos os dados que conseguiram nos últimos 10 anos de cidades ao redor do mundo, incluindo no Brasil.
As conclusões obtidas apontam para o fato de que as cidades são um tipo de reator social. Elas existem para resolver o problema de colocar muitas pessoas sociáveis juntas e coordená-las no espaço e tempo de uma maneira sustentável.
O que torna uma cidade bem-sucedida, portanto, é um bom balanço entre a interatividade (interação social entre os habitantes) e o custo de criar essas interações (custo de meios de transporte, por exemplo). Esse balanço é o que determina se uma cidade está funcionando bem, e pode ser atingido por cidades de qualquer tamanho.

Contudo, nem todas as interações sociais são boas. Violência e crime, por exemplo, são interações ruins. Para uma cidade ser bem-sucedida é preciso reduzir o custo necessário para interações vantajosas (facilitando o transporte pelas cidades, por exemplo) e aumentar o custo de interações prejudiciais entre seus indivíduos.
Quanto maior for o custo de uma interação, menor será a probabilidade de ela ocorrer. Assim, aumentando o custo de interações prejudiciais, elas ocorrem em menor quantidade; de forma análoga, diminuindo o custo de interações prejudiciais, elas ocorrem com mais frequência. Embora isso seja algo conhecido, ao menos intuitivamente, esse trabalho permitiu que tal ideia fosse formalizada e colocada na forma de uma equação matemática.

Os pesquisadores estão trabalhando, agora, em uma análise das vizinhanças das cidades. Elas podem ser extremamente heterogêneas: há vizinhanças ricas e pobres; vizinhanças que são mais comerciais e outras que são residenciais; outras, ainda, são mais industriais.
Uma cidade que bem-sucedida deve vencer obstáculos de segregação (como violência, por exemplo) e estabelecer uma maior conectividade. A instituição de relações econômicas e sociais com pessoas que são muito diferentes é algo que faz uma cidade funcionar bem.

As cidades são objetos heterogêneos por natureza: elas combinam diferentes naturezas e funções para criar algo mais elaborado e interessante. Capturar isso matematicamente de modo formal é ainda um desafio, mas o trabalho desses cientistas promete chegar mais longe. Quem sabe no futuro os urbanistas possam fazer uso desses resultados para melhor planejar as cidades?

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Dubai pode ser uma opção para as próximas férias

Conheça a fórmula matemática que vai ajudar no planejamento da próxima viagem de férias.
 A maioria das pessoas pensa em cidades como Paris, Tóquio ou Dubai como entidades únicas, isto é, como cidades que são diferentes de todas as outras metrópoles. Entretanto, cidades grandes e pequenas compartilham um propósito: ambas buscam proporcionar um lugar bom para se viver. Por conta dessa questão em comum, cientistas e planejadores urbanos estão tentando encontrar uma forma de trazer rigor matemático ao analisar se uma cidade está cumprindo esse objetivo.

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Interação profissional entre habitantes de uma cidade é um elemento que torna uma cidade bem-sucedida

O físico teórico Luis Bettencourt e seus colegas do Instituto Santa Fe publicaram na edição de junho da revista Science uma teoria que sugere que cidades grandes e pequenas são mais similares entre si do que diferentes. Ele observou algumas características estatísticas ao redor do mundo: tamanho, localização geográfica, clima etc. e, neste trabalho, foi capaz de identificar componentes universais que são essenciais para o sucesso de uma cidade. Bettencourt tentou sintetizar esses componentes em uma fórmula matemática que permitisse quantificar quão bem-sucedida uma cidade era.
 Para obter seus resultados, o time de cientistas trabalhou por bastante tempo. Eles coletaram todos os dados que conseguiram nos últimos 10 anos de cidades ao redor do mundo, incluindo no Brasil.
As conclusões obtidas apontam para o fato de que as cidades são um tipo de reator social. Elas existem para resolver o problema de colocar muitas pessoas sociáveis juntas e coordená-las no espaço e tempo de uma maneira sustentável.
O que torna uma cidade bem-sucedida, portanto, é um bom balanço entre a interatividade (interação social entre os habitantes) e o custo de criar essas interações (custo de meios de transporte, por exemplo). Esse balanço é o que determina se uma cidade está funcionando bem, e pode ser atingido por cidades de qualquer tamanho. Contudo, nem todas as interações sociais são boas. Violência e crime, por exemplo, são interações ruins. Para uma cidade ser bem-sucedida é preciso reduzir o custo necessário para interações vantajosas (facilitando o transporte pelas cidades, por exemplo) e aumentar o custo de interações prejudiciais entre seus indivíduos.
Quanto maior for o custo de uma interação, menor será a probabilidade de ela ocorrer. Assim, aumentando o custo de interações prejudiciais, elas ocorrem em menor quantidade; de forma análoga, diminuindo o custo de interações prejudiciais, elas ocorrem com mais frequência. Embora isso seja algo conhecido, ao menos intuitivamente, esse trabalho permitiu que tal ideia fosse formalizada e colocada na forma de uma equação matemática.

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Interação social entre habitantes de uma cidade

Os pesquisadores estão trabalhando, agora, em uma análise das vizinhanças das cidades. Elas podem ser extremamente heterogêneas: há vizinhanças ricas e pobres; vizinhanças que são mais comerciais e outras que são residenciais; outras, ainda, são mais industriais.
Uma cidade que bem-sucedida deve vencer obstáculos de segregação (como violência, por exemplo) e estabelecer uma maior conectividade. A instituição de relações econômicas e sociais com pessoas que são muito diferentes é algo que faz uma cidade funcionar bem.As cidades são objetos heterogêneos por natureza: elas combinam diferentes naturezas e funções para criar algo mais elaborado e interessante. Capturar isso matematicamente de modo formal é ainda um desafio, mas o trabalho desses cientistas promete chegar mais longe. Quem sabe no futuro os urbanistas possam fazer uso desses resultados para melhor planejar as cidades?

Mãe, não tem tomate?

 

Quem não ouviu ou viu nas redes sociais os manifestos com relação ao aumento do preço do tomate nos últimos dias? Muitas famílias que o tinham em suas refeições como item primordial se viram obrigadas a substituí-lo por um alimento mais barato. Mas, se o Brasil é conhecido por suas terras produtivas, por que, afinal, o tomate se transformou em um produto de luxo nas refeições brasileiras?

A culpa desse aumento é da inflação. Popularmente, a inflação significa o aumento no valor dos preços; economicamente, podemos dizer que a inflação é a queda do poder de compra do dinheiro. O órgão responsável pelo fornecimento do valor da inflação brasileira é o IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Estima-se que a faixa entre 2 a 4,5% de inflação ao ano é uma situação de estabilidade de preços. Engana-se, portanto, quem pensa que 0% de inflação represente estabilidade; ao contrário, esse valor representa desemprego e crise.
Se tivéssemos 0% de inflação, por exemplo, significaria que não haveria procura no mercado consumidor, e, consequentemente, não haveria demanda, pois é a demanda que determina a oferta. Por exemplo, um produtor de arroz só continuará produzindo arroz se continuar tendo procura por esse produto; caso contrário, ele apenas terá prejuízos com a sua produção.
O desemprego é um dos responsáveis pela diminuição da procura por determinados produtos no mercado consumidor, ocasionando, dessa forma, crise em seus fabricantes, que se sustentam através das vendas. Na história do tomate o aumento de preço aconteceu porque a procura estava maior que a demanda. A demanda abaixou devido às secas e às altas chuvas que, combinadas, levaram à diminuição dessa fruta.




O cálculo da inflação é baseado em POFs (Pesquisa de Orçamento familiar). Através dessa pesquisa monta-se uma cesta de produtos baseada na importância de cada item para as famílias e em seus respectivos preços; os mais caros possuem altos índices. Além das cestas de produtos e de seu preço, a densidade demográfica também influencia no cálculo - São Paulo, por exemplo, é responsável por 31% do consumo no Brasil, devido a sua grande população.
Essa cesta de produtos passou por algumas reformulações: alguns produtos, como fralda de pano, máquina de costura e mais 48 itens, foram considerados desnecessários e, portanto, saíram do cálculo do índice. Em contrapartida, 32 novos itens foram acrescentados: salmão, morango, chuveiro elétrico e telefone com internet são alguns exemplos. A atualização desses itens na inflação é necessária, pois os hábitos de consumo sempre mudam.
Um exemplo de como é possível medir um produto com inflação pode ser observado através da regra de porcentagem. Suponha que você compre uma cesta básica pelo preço de R$ 100,00 e, segundo pesquisas, o índice de inflação será de 1% para os produtos encontrados nessa cesta. Quanto você pagaria por ela no próximo mês? Através do cálculo de porcentagem:
1% de 100 = 1
R$ 100,00 +  R$1,00 = R$101,00. Esse seria o valor pago pelos produtos com a inflação de 1%.

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Quanto vale o tomate

Quem não ouviu ou viu nas redes sociais os manifestos com relação ao aumento do preço do tomate nos últimos dias? Muitas famílias que o tinham em suas refeições como item primordial se viram obrigadas a substituí-lo por um alimento mais barato. Mas, se o Brasil é conhecido por suas terras produtivas, por que, afinal, o tomate se transformou em um produto de luxo nas refeições brasileiras?
A culpa desse aumento é da inflação. Popularmente, a inflação significa o aumento no valor dos preços; economicamente, podemos dizer que a inflação é a queda do poder de compra do dinheiro. O órgão responsável pelo fornecimento do valor da inflação brasileira é o IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Estima-se que a faixa entre 2 a 4,5% de inflação ao ano é uma situação de estabilidade de preços. Engana-se, portanto, quem pensa que 0% de inflação represente estabilidade; ao contrário, esse valor representa desemprego e crise.
Se tivéssemos 0% de inflação, por exemplo, significaria que não haveria procura no mercado consumidor, e, consequentemente, não haveria demanda, pois é a demanda que determina a oferta. Por exemplo, um produtor de arroz só continuará produzindo arroz se continuar tendo procura por esse produto; caso contrário, ele apenas terá prejuízos com a sua produção.
O desemprego é um dos responsáveis pela diminuição da procura por determinados produtos no mercado consumidor, ocasionando, dessa forma, crise em seus fabricantes, que se sustentam através das vendas. Na história do tomate o aumento de preço aconteceu porque a procura estava maior que a demanda. A demanda abaixou devido às secas e às altas chuvas que, combinadas, levaram à diminuição dessa fruta.
O cálculo da inflação é baseado em POFs (Pesquisa de Orçamento familiar). Através dessa pesquisa monta-se uma cesta de produtos baseada na importância de cada item para as famílias e em seus respectivos preços; os mais caros possuem altos índices. Além das cestas de produtos e de seu preço, a densidade demográfica também influencia no cálculo - São Paulo, por exemplo, é responsável por 31% do consumo no Brasil, devido a sua grande população.
Essa cesta de produtos passou por algumas reformulações: alguns produtos, como fralda de pano, máquina de costura e mais 48 itens, foram considerados desnecessários e, portanto, saíram do cálculo do índice. Em contrapartida, 32 novos itens foram acrescentados: salmão, morango, chuveiro elétrico e telefone com internet são alguns exemplos. A atualização desses itens na inflação é necessária, pois os hábitos de consumo sempre mudam.
Um exemplo de como é possível medir um produto com inflação pode ser observado através da regra de porcentagem. Suponha que você compre uma cesta básica pelo preço de R$ 100,00 e, segundo pesquisas, o índice de inflação será de 1% para os produtos encontrados nessa cesta. Quanto você pagaria por ela no próximo mês? Através do cálculo de porcentagem:
1% de 100 = 1
R$ 100,00 +  R$1,00 = R$101,00. Esse seria o valor pago pelos produtos com a inflação de 1%.

A culpa é da Lei de Murphy

 

Quem nunca atribuiu os eventos catástroficos cotidianos à Lei de Murphy, que atire a primeira torrada! Pode ser que você não acerte o alvo, porém, ela certamente cairá com a manteiga para baixo. E a culpa, claro, será de Murphy.Segundo o pesquisador Robert Matthews, da Universidade de Aston, a culpa pelo azar de alguns eventos é única e exclusivamente da matemática e isso se comprova através de sua afirmação “se alguma coisa puder dar errado, ela dará, e a culpa é simplesmente da matemática”.




Antes de comprovarmos tal afirmação, vamos entender o início e os princípios da lei de Murphy. A história começa no fim da década de 1940, na base aérea americana da Califórnia. Nessa época, uma equipe liderada pelo médico John Paul Stapp fazia experimentos para medir o impacto da gravidade sobre o corpo humano. Por muito tempo as aeronaves americanas foram construídas mediante os valores encontrados nas experiências feitas pela equipe de Stapp, porém, alguns acidentes indicaram a crer que os valores estavam super estimados.
Diante desse cenário, um jovem capitão se dispôs a fazer os testes em si mesmo - até então eles eram feitos em bonecos. Para isso, quatro sensores fixados no corpo do capitão seriam os responsáveis por essas novas medições, as quais seriam interpretadas por Edwards Murphy Jr.


Como você já deve ter previsto, algo ruim aconteceu: para azar do grupo, os sensores foram fixados de forma errada e, ao término dos testes, nenhum valor foi obtido. Muito irritado com esse erro, Murphy declarou: “se existem duas ou mais formas de se fazer uma tarefa e uma delas puder provocar um desastre, alguém irá adotá-lá”. Essa afirmação tão simples foi dita por Stapp durante uma coletivade imprensa, tornando-se uma lei que determina que, se algo puder dar errado, dará.
Porém, para o físico Robert Mattews, não existe espaço para superstições quando a matemática têm respostas para esses questionamentos. Seu estudo sobre o assunto foi chamado de Matemática do Azar, e ela responde a alguns eventos do nosso dia a dia:

 a)      Por que sempre escolhemos a fila mais lenta no supermercado?
A resposta para essa pergunta é muito simples. Segundo o físico, se há 5 filas em um supermercado e apenas 1 está rápida, a probabilidade de escolhermos a fila rápida é apenas 1/5 , ou seja, 20%. E a probabilidade de escolhermos qualquer fila que esteja mais lenta é de 4/5, ou seja, 80%. Portanto, a culpa pela fila estar mais lenta é da probabilidade, e não de Murphy. Além disso, ele também argumenta que a sensação de ser ultrapassado é mais significativa para nosso cérebro do que a de deixar outra pessoa para trás.

b)      Por que, ao escolher  um par de meias em uma gaveta, escolhemos aquelas que não formam o par?
A análise combinatória tem a resposta para essa pergunta. Se em sua gaveta há 10 meias, ou seja, 5 pares, ao escolher aleatoriamente 1 meia, a probabilidade de escolher o outro par dessa meia é 1 em 9 meias, ou seja, 1/9 = 11%. E a probabilidade de escolher aquela que não é o par é 8/9 = 89%. Observe que a probabilidade de escolher a meia que não é par é muito maior que de se escolher aquela que formaria o par.

c)       Por que, quando derrubamos uma torrada no chão, ela cai com a manteiga virada para o chão?
Para  muitos pesquisadores essa afirmação é um absurdo, pois a probabilidade de a manteiga cair virada para o chão é igual a de não cair: 50% de chance. A culpa pela queda da torrada virada com a manteiga para baixo é da gravidade e da altura da mesa. Ao cair da mesa (que possui uma altura média), a torrada não terá tempo nem energia para uma volta de 360° sobre seu eixo.
Portanto, antes de culpar Murphy por seus desastres cotidianos, tente entender a matemática por trás desse tamanho “azar”.

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Atire a primeira torrada

Quem nunca atribuiu os eventos catástroficos cotidianos à Lei de Murphy, que atire a primeira torrada! Pode ser que você não acerte o alvo, porém, ela certamente cairá com a manteiga para baixo. E a culpa, claro, será de Murphy.
Segundo o pesquisador Robert Matthews, da Universidade de Aston, a culpa pelo azar de alguns eventos é única e exclusivamente da matemática e isso se comprova através de sua afirmação “se alguma coisa puder dar errado, ela dará, e a culpa é simplesmente da matemática”.
Antes de comprovarmos tal afirmação, vamos entender o início e os princípios da lei de Murphy. A história começa no fim da década de 1940, na base aérea americana da Califórnia. Nessa época, uma equipe liderada pelo médico John Paul Stapp fazia experimentos para medir o impacto da gravidade sobre o corpo humano. Por muito tempo as aeronaves americanas foram construídas mediante os valores encontrados nas experiências feitas pela equipe de Stapp, porém, alguns acidentes indicaram a crer que os valores estavam super estimados.
Diante desse cenário, um jovem capitão se dispôs a fazer os testes em si mesmo - até então eles eram feitos em bonecos. Para isso, quatro sensores fixados no corpo do capitão seriam os responsáveis por essas novas medições, as quais seriam interpretadas por Edwards Murphy Jr.
 Como você já deve ter previsto, algo ruim aconteceu: para azar do grupo, os sensores foram fixados de forma errada e, ao término dos testes, nenhum valor foi obtido. Muito irritado com esse erro, Murphy declarou: “se existem duas ou mais formas de se fazer uma tarefa e uma delas puder provocar um desastre, alguém irá adotá-lá”. Essa afirmação tão simples foi dita por Stapp durante uma coletivade imprensa, tornando-se uma lei que determina que, se algo puder dar errado, dará.
Porém, para o físico Robert Mattews, não existe espaço para superstições quando a matemática têm respostas para esses questionamentos. Seu estudo sobre o assunto foi chamado de Matemática do Azar, e ela responde a alguns eventos do nosso dia a dia:

 a)      Por que sempre escolhemos a fila mais lenta no supermercado?
A resposta para essa pergunta é muito simples. Segundo o físico, se há 5 filas em um supermercado e apenas 1 está rápida, a probabilidade de escolhermos a fila rápida é apenas 1/5 , ou seja, 20%. E a probabilidade de escolhermos qualquer fila que esteja mais lenta é de 4/5, ou seja, 80%. Portanto, a culpa pela fila estar mais lenta é da probabilidade, e não de Murphy. Além disso, ele também argumenta que a sensação de ser ultrapassado é mais significativa para nosso cérebro do que a de deixar outra pessoa para trás.

b)      Por que, ao escolher  um par de meias em uma gaveta, escolhemos aquelas que não formam o par?
A análise combinatória tem a resposta para essa pergunta. Se em sua gaveta há 10 meias, ou seja, 5 pares, ao escolher aleatoriamente 1 meia, a probabilidade de escolher o outro par dessa meia é 1 em 9 meias, ou seja, 1/9 = 11%. E a probabilidade de escolher aquela que não é o par é 8/9 = 89%. Observe que a probabilidade de escolher a meia que não é par é muito maior que de se escolher aquela que formaria o par.

c)       Por que, quando derrubamos uma torrada no chão, ela cai com a manteiga virada para o chão?
Para  muitos pesquisadores essa afirmação é um absurdo, pois a probabilidade de a manteiga cair virada para o chão é igual a de não cair: 50% de chance. A culpa pela queda da torrada virada com a manteiga para baixo é da gravidade e da altura da mesa. Ao cair da mesa (que possui uma altura média), a torrada não terá tempo nem energia para uma volta de 360° sobre seu eixo.
Portanto, antes de culpar Murphy por seus desastres cotidianos, tente entender a matemática por trás desse tamanho “azar”.

COMO É CALCULADA A DATA DO FERIADO DE 'CORPUS CHRISTI'?

Dia 30 de maio de 2013, foi feriado de Corpus Christi. Em 2012 o mesmo feriado caiu em 7 de junho. E no ano que vem, em 2014, Corpus Christi será em 19 de junho.
Por que esta data muda a cada ano?
A resposta está no fato de que a data da Páscoa, definida por um critério astronômico, também muda a cada ano. E é com base na data da Páscoa que determinamos outras datas religiosas.
A data da Páscoa é definidade como:

"o primeiro domingo após a Lua Cheia que ocorrer depois de 21 de março"

Definida a Páscoa (data de referência), os demais feriados seguem rigorosamente a tabela abaixo. Basta somar ou subtrair um número fixo de dias à data da Páscoa.


Exemplo: em 2013 a Páscoa (data de referência) caiu em 31 de março, o primeiro domingo após 27 de março, a data da primeira Lua Cheia depois de 21 de março. Se você somar 60 dias à data da Páscoa, encontrará a data de hoje, 30 de maio, feriado de Corpus Christi. Entendeu?
Existem algoritmos capazes de prever a data da Páscoa.

prof. Dulcidio Braz Júnior

Operações entre conjuntos

DIFERENÇA
Se tomarmos os elementos que pertencem a um determinado conjunto, mas não pertencente a outro, estamos fazendo a diferença entre esses conjuntos. Por exemplo, a diferença entre os conjuntos D e C, simbolizada por D-C, é o conjunto formado pelos elementos de D que não pertencem a C. Ou seja:.
Note que, podemos escrever {1}∈D, pois {1} é elemento de D; e ainda podemos escrever {1}⊂D, pois {1} também é um subconjunto, unitário, de D, já que o elemento 1∈D.

UNIÃO
A união, símbolo “∪”, de dois conjuntos é um outro conjunto cujos elementos pertencem a, pelo menos, um dos dois conjuntos iniciais. Por exemplo,

Nesse casso, temos que a união dos conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={1,2,6,7,8,9} é o conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ou seja,
.

INTERSECÇÃO
Quando um elemento pertence simultaneamente a dois conjuntos, dizemos que este elemento está no conjunto intersecção desses conjuntos. Por exemplo, os elementos da intersecção entre A e B é representada por A∩B e é igual {x⁄x∈Ae x∈B}, que, nesse caso, formam o conjunto {1,2}.
Note que:

* ∅ é o símbolo para o conjunto vazio. Este conjunto não possui elementos e, por isso, ∅ está contido em qualquer outro conjunto, por exemplo, ∅⊂A.

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Diferença de conjuntos

DIFERENÇA
Se tomarmos os elementos que pertencem a um determinado conjunto, mas não pertencente a outro, estamos fazendo a diferença entre esses conjuntos. Por exemplo, a diferença entre os conjuntos D e C, simbolizada por D-C, é o conjunto formado pelos elementos de D que não pertencem a C. Ou seja:
.
Note que, podemos escrever {1}∈D, pois {1} é elemento de D; e ainda podemos escrever {1}⊂D, pois {1} também é um subconjunto, unitário, de D, já que o elemento 1∈D.

 

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União entre conjuntos

UNIÃO
A união, símbolo “∪”, de dois conjuntos é um outro conjunto cujos elementos pertencem a, pelo menos, um dos dois conjuntos iniciais. Por exemplo,

Nesse casso, temos que a união dos conjuntos A={1,2,3,4,5} e B={1,2,6,7,8,9} é o conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ou seja,
.

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Intersecção de conjuntos

INTERSECÇÃO
Quando um elemento pertence simultaneamente a dois conjuntos, dizemos que este elemento está no conjunto intersecção desses conjuntos. Por exemplo, os elementos da intersecção entre A e B é representada por A∩B e é igual {x⁄x∈Ae x∈B}, que, nesse caso, formam o conjunto {1,2}.
Note que:

* ∅ é o símbolo para o conjunto vazio. Este conjunto não possui elementos e, por isso, ∅ está contido em qualquer outro conjunto, por exemplo, ∅⊂A.